本文常用量级绝对无穷部分构造补充（第2页）

还可以更抽象的理解不可达基数，假如连续统假设成立。则2^阿列夫零＝阿列夫一，2^阿列夫一＝阿列夫二．。。。。。你可以这样迭代下去，你能得到阿列夫（阿列夫（阿列夫一）），阿列夫（阿列夫（阿列夫（阿列夫．。。。。。））），你所想象到的迭代，无论是多么的变态，你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数，不可能从下至上抵达它。举个例子，有限的数，它们经过任意有限次迭代，都不可能到达无穷大，只能用∞这个符号表示，同样，∞（指小基数），哪怕它们经过任意8次迭代，也不可能到达不可达基数。

你取到k之后，那么k和2^k都是正则的大基数，继续对k替代公理模式以及对k取幂集，仍然不可达的就是第二个不可达基数。

2．马洛基数

一个无穷基数k是马洛基数（mah1oneta1）当且仅当k是一个不可达基数并且是“正则基数”。

{a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是正则基数｝是k上的平稳集［1]。如果k是马洛基数，则是“不可达基数”。

{1amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是不可达基数｝是k上的平稳集，因此k是第k个不可达基数。

为了得到以上结论，我们来证明如果k是任何不可达基数，则是“强极限基数”

c:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是强极限基数｝是k上的无界闭集。先来证明闭性：

假设基数入＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It;k是net入），则对任何μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;It；入有强极限基数yenet入使得μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，从而2μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;入，从而入是一个强极限基数，故入ec，从而c是闭的。

无界性：任取序数a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k，因为k的强极限性质，可以做以下基数序列（yn

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1ne）:

a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t:yo，y1=2yo，。。。，yn+1=2yn，。。。

并取y=supneyn，因为k

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;是正则的，所以y

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k而且显然a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y。可以证明v是强极限的：任取μamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，则按照定义存在neap;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;yn，从而2μs2yn=yn+1amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，于是yec。这样c就是无界的。

现假设k是马洛基数，则是不可达基数，而且是正则的。

x:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是正则的｝是k上的平稳集。按照定义，xnc也将是k上的平稳集，而为“不可达基数”。

xnc={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入为不可达基数｝。因为k上的平稳集总是在k中无界，故xnc的基数也将是k，也即k是第k个不可达基数。

为了进一步考察马洛基数，我们再来证明以下两个命题：

命题1：如果是第一个不可达基数

k=min（入入是第入个不可达基数｝，则k不是马洛基数。

命题2:如果k是马洛基数，则集合第入个不可达基数是｛入＆amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1入是第入个不可达基数｝在k中无界。

先证明命题1：按照定义，任何小于k的不可达基数y都是第a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y个不可达基数。现在定义是不可达基数：

x:={y

amp;amp;amp;amp;a

mp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k1y是不可达基数｝上的函数f:x→→k使得f（y）=a，其中a

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;y，且y是第a个不可达基数。从而f是x上的退缩函数。如果k是马洛基数，按照上一个证明，x将成为k上的平稳集。按照福道尔定理，将存在一个k上的平稳集scx和某个b使得任何yes有f（y）=b，即任何yes是第b个不可达基数。但我们知道第b个不可达基数只有一个，这与s是平稳集矛盾。

命题2:假设是第入个不可达基数：

t:={amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k入是第入个不可达基数｝在k中有界，即supt

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k。令a=supt，则集合c={b

amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;1t;k|bamp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;amp;gt;a｝是k上的无界闭集。因为k是马洛基数，所以

是不可达基数。