冯诺依曼代数简介及其转变一 冯诺依曼代数的构造及分类（第1页）

关于黑洞热力学，一个里程碑式的进展是关于黑洞的贝肯斯坦熵的现，即黑洞熵正比于其视界面的面积

s=a4gns=franet}}

这是经典下的黑洞熵，考虑半经典的情况，会出现bu1k时空中量子场的纠缠熵修正，整体是一个广义熵

sgen=a4gn+smatters_{gen}=franet}}+s_{matter}

通常，广义熵中的这两项都是散的，但是物质场纠缠熵的散可以和面积部分的牛顿常数的散相互抵消，最终广义熵是一个uVfinite的量。

同时描述加膨胀宇宙的de-sitter时空，也和黑洞具有十分类似的结构，它也具有事件视界，同时也可以给这个事件视界定义温度和熵之类的热力学变量。

关于de-sitter宇宙和黑洞的相似性，可以见笔者的回答

普遍理论认为，宇宙大爆炸的模型是从奇点开始，那么与黑洞模型是否有相似之处？8o赞同·15评论回答

这方面的研究一个自然的问题是是否存在一个更加清晰的阐述，能够说明为什么物质场的熵是散的，而广义熵则是有限的，当然这个问题从重整化的角度有一些说明，然而最近itten和penington等人，通过代数的角度，给了这个问题一个更加清晰而深刻的理解。简单介绍一下这方面的进展，打算分为三部分介绍，先在本文中做一些基础的铺垫，介绍一下冯诺依曼代数的构造及分类。

关于更为基础的代数量子场论的知识，（例如什么是对于一个代数netg的态），请见本专栏的内容

代数量子场论简单介绍zc。{0，10}o。{0，10}moReeh-sch1ieder定理：考虑一个时空中的场phi（x^{mu}），可以以此定义phi_{f}=intd^{d}xf（x，t）phi（x，t）将这些算符作用于真空态上会形成希尔伯特空间|psi_{f}rang1e=phi_{f_{1}}phi_{f_{2}}。。。。phi_{f_{n}}|omegarang1e通常要求这些算符是定义在整个流形m上产生的态才是稠密（dense）的。而Reeh-sch1ieder是说即使把这些算符phi的支集限制在一个很小的区域u中，也可以产生同样的希尔伯特空间，也是稠密的。即phi_{x_{1}}phi_{x_{2}}。。。。phi_{x_{n}}|omegarang1e，x_{1}。。。。。x_{n}inu证明稠密的意思则是我们无法找到一个态|netg1e和其正交，除非这个|netu11state。定义函数1ang1echi|phi（x_{1}）phi（x_{2}）。。。。。phi（x_{n}）|omegarang1e，沿着一个类时的方向做变换x_{n}tox_{n}+ut，得到函数g（u）=1ang1echi|phi（x_{1}）phi（x_{2}）。。。。exp（ihu）phi（x_{n}）|omegarang1e我们利用了h|omegarang1e=o。我们先考虑u很小，以至于这个变换仍然在u内，所以g（u）=o因为h正定，g（u）在u的复平面的上半平面是一个解析的函数。因此g（u）可以做泰勒展开，并且只要存在一段上它是o，这个泰勒展开就是严格为o的，因此保证了g（u）在任何u的值的时候都是o。所以函数1ang1echi|phi（x_{1}）phi（x_{2}）。。。。。phi（x_{n}+ut）|omegarang1e=o对于任意的u都恒成立。，然后可以继续进行这个操作，因为流形m上的任何一点，都可以通过u上的点和类时的矢量往未来或者过去演化得到（想象zigzag的形状）。然后对于x1，x2都重复xn的操作，所以虽然开始限制了x点的取值在u内，但其实根据上面的叙述，这个限制是可以去掉的。这就是Reeh-sch1ieder定理的证明。Reeh-schi1ieder定理有一个简单的推论：考虑两个类空的区域u，V，如果b算符在V内，假设bomega=o，那么再考虑u内的算符a。我们有[a，b]=ob（aomega）=abomega=o因为aomega是稠密的，所以b=o。这样如果本身beqo，那么就存在矛盾。所以假设不对，因此得到bomegaeqo。a和b的角色是对称的，所以也能推得aomegaeqo。这个推论下给出两个定义，对于u区域，有一个算子代数mathca1{a}_{u}，然后如果aomega，ainmathca1{a}_{u}是稠密的，那么我们说|omegarang1e这个态对于算子代数是netmathca1{a}_{u}，如果a|omegarang1eeqo。就说这个态对于算子代数是separating的Reeh-sch1ieder定理和它的推论给出了真空态是一个netg的矢量。tomitatakasaki理论和modu1arhami1tonian：定义冯诺伊曼代数mathca1{a}和它的互补mathca1{a}起点是tomita算子，即一个反线性的算符s_{omega}:mathca1{h}tomathca1{h}s_{omega}o|omegarang1e=o^{dagger}|omegarang1es_{omega}是一个态依赖的算子，并且需要依赖于真空态的netg的性质。通过定义易得s^{2}=1，s|omegarang1e=|omegarang1e，同时定义s^{dagger}定义在代数mathca1{a}上。如果s是可逆的，那么就有如下唯一的分解s=Jde1ta^{12}，de1ta是modu1ar算子，J是一个反幺正的算符叫做modu1arnet。de1ta=s^{dagger}s，着名的modu1arhami1tonian就是通过这个算子得出的，de1ta=e^{-k}。真空态算符在这些作用下都是不变的J|omegarang1e=de1ta|omegarang1e=|omegarang1etomita-takasaki理论的核心是说，冯诺伊曼代数按照modu1ar变换不变：de1ta^{it}mathca1{a}de1ta^{-it}=mathnetjugation诱导出这样一个变化JaJ=atomita-takasaki理论是能够推导re1ativeentropy的单调性的一种很直接的方法，因此也就能够比较直观的证明纠缠熵的强次可加性。同时，这种通过J对于算符的构造，比如o=JoJ还可以应用到构造黑洞内部的算符的过程中。最后看一下最简单的情况下modu1arhami1tonian怎么写，通常来说，modu1arhami1tonian作为非局域算符是非常难以计算的。在Rind1er时空下，在假设希尔伯特空间可以factorize的时候，mathca1{h}=mathca1{h}_{L}otimesmathca1{h}_{R}modu1ar算符de1ta=rho_{r}otimesrho_{1}^{-1}因为态可以通过欧式路径积分来表达，这时在做了欧式转动之后，密度矩阵元由boost算子给出所以de1ta_{omega}=exp（-2pik_{r}）exp（2pik_{1}）=exp（-2pik

以上基础对于本文较为重要。

先简单介绍一下von-neumann代数的分类，von-neumann代数可以分为3类

最简单的一类是typeI的von-neumann代数，通常的量子力学系统满足的是这一类代数。作用于希尔伯特空间k上的所有有界算子（boundedoperator）组成typeI的von-neumann代数。根据希尔伯特空间k的维数决定不同的冯诺依曼代数。例如如果k是有限维的，那么代数属于typeIdI_{d}，如果k是无穷维的，那么代数属于typeI∞I_{infty}。typeI的冯诺依曼代数可以定义一个线性函数：a→traatotra

满足交换性和非负性

tr（ab）=tr（ba），tr（a?a）?ofora≠otr（ab）=tr（ba），quadtr（a^{dagger}a）geqs1antoquadforquadaeqo

因此它是求迹运算，例如对应于有限维，可以把算符写成矩阵，求迹就是通常大家所熟悉的矩阵求迹。

通常考虑无穷维的情况，数学上可以构造更多非平庸的冯诺依曼代数。

先来构造typeII的代数，考虑如下的最大纠缠的epR态

12（|↑?|↑?+|↓?|↓?）frac{1}{sqrt{2}}（|uparroaparrorang1e+|donarrorang1e|doap>一个简单的等价操作是不妨将其中一个变为左矢量空间，使得epR态可以写为（省略了归一化因子12frac{1}{sqrt{2}}）

（，）（，）（1o）（1，o）+（o1）（o，1）=（1oo1）1eft（begin{array}{netd{array}right）（1，o）+1eft（begin{array}{netd{array}right）（o，1）=1eft（begin{array}{netd{array}right）

因此一个纠缠对可以通过一个2*2的矩阵来描述，作为一个基本的矢量空间。

其内积的定义为?v?，?=trv?1ang1ev^{dagger}，rang1e=trv^{dagger}，再讨论其上的算符，算符有两种，分别是从左作用到线性空间上和从右作用到线性空间上，m2，m2′m_{2}，m_{2}，a∈m2，v→av，a′∈m2′，v→va′trainm_{2}，vtoav，quadainm_{2}，vtova^{tr}，其中tr表示转置。m和m‘相互对易。

更为清楚的表示是，V可以写成V=?′V=otimes，m作用于空间，而m‘作用于‘空间。由上面的例子可以看出，对于最大纠缠的两体态，可以写为I2′=I22I_{2}=I_{2}sqrt{2}，其中I是恒等矩阵，当然也可以写出更一般的矩阵，对应不同的两体纠缠，它们都对应V空间的态。

我们可以利用这个基本的矢量空间，构造无穷维的张量积结构

v1?v2?。。。?vk。。∈V[1]?V[2]。。。?V[k]。。。。v_{1}otimesv_{2}otimes。。。otimesv_{k}。。inV^{[1]}otimesV^{[2]}。。。otimesV^{[k]}。。。。

考虑其中除了有限个之外，其他的vkv_{k}都等于I2′I_{2}。